Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số bị chặn?
-
A.
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\).
-
B.
\({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
-
C.
\({u_n} = {n^2} - 4n + 3\).
-
D.
\({u_n} = {n^3} + \sqrt n + 1\).
Sử dụng định nghĩa:
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số \(M\) và \(m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} \)
\(= \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}\).
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:
\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \)
\(\Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
Ta có: \(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \)
\(\Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \)
\(\Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Đáp án : B
Danh sách bình luận