Dùng máy đo phóng xạ của một mẫu gỗ của một cổ vật phát hiện được 240 phóng xạ mỗi phút. Biết rằng thành phần của mẫu gỗ có chứa 25 g \({}_6^{14}C\) và \({}_6^{12}C\), chu kì bán rã của \({}_6^{14}C\) là 5 730 năm và tỉ lệ nguyên tử \({}_6^{14}C\) và \({}_6^{12}C\) khi một sinh vật còn sống 1012:1.
a) Xác định số nguyên tử \({}_6^{14}C\) có trong mẫu gỗ.
b) Xác định độ tuổi của mẫu gỗ này.
Vận dụng kiến thức về vật lí hạt nhân
a) Độ phóng xạ của mẫu gỗ là:
\(H = 240\ \text{phóng xạ/phút} = 4\ \text{phóng xạ/giây} = 4\ \text{Bq}\)
Chu kì bán rã của \(^{14}_{6}C\) là: \(T = 5730\ \text{năm} = 5730 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60\ \text{s}\)
Hằng số phóng xạ của \(^{14}_{6}C\) là: \(\lambda = \frac{\ln 2}{T}\)
Do đó, số nguyên tử \(^{14}_{6}C\) hiện có trong mẫu gỗ là: \(N_1 = \frac{H}{\lambda}= \frac{H \cdot T}{\ln 2}\)
\(N_1= \frac{4 \cdot 5730 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60}{\ln 2}\approx 1{,}04 \cdot 10^{12}\)
Vậy số nguyên tử \(^{14}_{6}C\) có trong mẫu gỗ hiện nay là: \(N_1 \approx 1{,}04 \cdot 10^{12}\)
b) Gọi \(N_2\) là số nguyên tử \(^{12}_{6}C\) hiện có trong mẫu gỗ. Vì khối lượng mẫu gỗ là \(25\,g\), ta có:
\(25 = 14 \cdot \frac{N_1}{N_A} + 12 \cdot \frac{N_2}{N_A}\)
Thay \(N_1 \approx 1{,}04 \cdot 10^{12}\) và \(N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\), được:
\(25 = 14 \cdot \frac{1{,}04 \cdot 10^{12}}{6{,}02 \cdot 10^{23}}+ 12 \cdot\frac{N_2}{6{,}02 \cdot 10^{23}}\)
\(\Rightarrow N_2 \approx 1{,}25 \cdot 10^{24}\)
Tỉ số giữa số nguyên tử \(^{12}_{6}C\) và \(^{14}_{6}C\) hiện nay trong mẫu gỗ là:
\(\frac{N_2}{N_1}=\frac{1{,}25 \cdot 10^{24}}{1{,}04 \cdot 10^{12}}\approx 1{,}2 \cdot 10^{12}\)
Khi sinh vật còn sống, tỉ lệ nguyên tử \(^{12}_{6}C\) và \(^{14}_{6}C\) là:
\(\frac{N_2}{N_0} = 10^{12}\)
trong đó \(N_0\) là số nguyên tử \(^{14}_{6}C\) ban đầu.
Sau thời gian \(t\), số nguyên tử \(^{14}_{6}C\) còn lại là:
\(N_1 = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\)
Suy ra: \(N_0 = N_1 \cdot 2^{\frac{t}{T}}\)
Do đó: \(\frac{N_2}{N_0} = \frac{N_2}{N_1 \cdot 2^{\frac{t}{T}}}= 10^{12}\)
\(\Rightarrow\frac{N_2}{N_1}=10^{12} \cdot 2^{\frac{t}{T}}\)
Thay số:
\(1{,}2 \cdot 10^{12}=10^{12} \cdot 2^{\frac{t}{5730}}\)
\(\Rightarrow 1{,}2 = 2^{\frac{t}{5730}}\)
\(\Rightarrow t = 5730 \cdot \log_2 1{,}2\)
\(\Rightarrow t \approx 1507{,}2\ \text{năm}\)
Vậy độ tuổi của mẫu gỗ là: \(1507{,}2\ \text{năm}\)
Danh sách bình luận