Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60 độ. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Chứng minh rằng:

a) $\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

b) $\left( {SBC} \right) \bot \left( {BDH} \right)$.

c) $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)$.

Phương pháp giải

Để chứng minh hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

Cách 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng , rồi tính trực tiếp góc đó bằng ${90^o}$.

$\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = {90^o} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$.

Cách 2. Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

$\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( \alpha \right)\\a \bot \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$.

Áp dụng tính chất đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD)\\BD \subset (ABCD)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BD$.

Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC)$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot (SAC)\\BD \subset (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow (SBD) \bot (SAC)$.

b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot (SAC)\\SC \subset (SAC)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot SC$.

Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SC\\OH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot (BDH)$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot (BHD)\\SC \subset (SBC)\end{array} \right. \Rightarrow (SBC) \bot (BDH)$.

c) $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD)\\AC \subset (ABCD)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot AC$.

ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat {BAD} = {60^o}$ nên $\Delta BAD$ và $\Delta BCD$ là các tam giác đều cạnh a, độ dài $AO = CO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác SAC vuông tại A:

$SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta CHO$ và $\Delta CAS$:

$\widehat C$ chung;

$\widehat {CHO} = \widehat {CAS} = {90^o}$.

Suy ra hai tam giác $\Delta CHO$ và $\Delta CAS$ đồng dạng (g.g).

Do đó $\frac{{HO}}{{SA}} = \frac{{CO}}{{CS}}$

$ \Rightarrow HO = \frac{{CO.SA}}{{CS}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{a}{2} = \frac{{BD}}{2}$.

Tam giác BDH có trung tuyến $HO = DO = OB = \frac{{BD}}{2}$ nên tam giác BDH vuông tại H.

Khi đó $\widehat {BHD} = {90^o} \Rightarrow BH \bot SC$ (1)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\OH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot (BDH)$.

Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot (BDH)\\DH \subset (BDH)\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot DH$ (2)

Từ (1) và (2) được $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot BH\\SC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot (BDH)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}SC \bot (BDH)\\SC \subset (SBC)\end{array} \right. \Rightarrow (SBC) \bot (BDH)$.

Xem thêm : SBT Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO $ \bot $ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.