Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$. Đặt \(\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}}  = \overrightarrow a \); \(\overrightarrow {{\rm{AB}}}  = \overrightarrow b \); \(\overrightarrow {{\rm{AC}}}  = \overrightarrow c \); \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow d \). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Bài 1 :

Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ với $M = C{D_1} \cap {C_1}D$. Khi đó:

Bài 2 :

Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {DM} \) là hai vectơ đối nhau;

b) \(\overrightarrow {SD}  - \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SC} \)

Bài 3 :

Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD'} \)

Bài 4 :

Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu là B.

Bài 5 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} \) có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) có bằng nhau hay không?

Bài 6 :

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \).

Bài 7 :

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {C'D'} \).

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Bài 8 :

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Lấy điểm O và vẽ các vectơ\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \). Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ \(\overrightarrow {O'A'}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'}  = \overrightarrow b \) (H.2.21).

a) Hãy giải thích vì sao \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \).

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao \(\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}\)

Bài 9 :

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} \);
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\).

Bài 10 :

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Bài 11 :

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \). 

Bài 12 :

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \). Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \):
a) \(\overrightarrow {AB'} \);
b) \(\overrightarrow {B'C} \);
c) \(\overrightarrow {BC'} \).

Bài 13 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CC'} \);
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD'} - \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0 \);
c) \(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {A'C} \)

Bài 14 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \).

Bài 15 :

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {DN} \). Hãy biểu diễn \(\overrightarrow {MN} \) theo \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

Bài 16 :

Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và M là trung điểm của đoạn thẳng AG. Khi đó \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \) bằng

A. \(\overrightarrow {MG} \).

B. \(2\overrightarrow {MG} \).

C. \(3\overrightarrow {MG} \).

D. \(4\overrightarrow {MG} \).

Bài 17 :

Trong không gian , cho hai vecto\(\;\vec a,\vec b.\;\) Lấy một điểm M tùy ý

a)     Vẽ \(\overrightarrow {MA}  = \vec a,\;\overrightarrow {MB}  = \vec b\;,\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow { - b} \)

b)    Tổng của hai vecto \(\vec a\;\)và \(\;\overrightarrow { - b} \) bằng vecto nào trong hình 7

Bài 18 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và  \(\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {AC'} \)

Bài 19 :

Trong không gian, cho 2 vec tơ \(\vec a\)và\(\vec b\) . Lấy một điểm A tùy ý.

a)     Vẽ \(\overrightarrow {AB} \)\( = \vec a\),\(\overrightarrow {BC} \)\( = \vec b\)

b)    Tổng của 2 vec tơ \(\vec a\)và\(\vec b\) bằng vec tơ nào trong hình 4?

Bài 20 :

Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Vecto \(\vec u = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'} \) bằng vecto nào dưới đây?

A. \(\overrightarrow {A'C}\)

B. \(\overrightarrow {CA'} \)

C. \(\overrightarrow {AC'} \)

D. \(\overrightarrow {C'A} \)

Bài 21 :

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a, \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)               

b, \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB} \)

Bài 22 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G là trọng tâm tam giác AB’D’.Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A'C}  = 3\overrightarrow {A'G} \)

Bài 23 :

Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2N; 3N; 4N (Hình 16). Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho.

Bài 24 :

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C′D′ có cạnh bằng đơn vị. Tìm độ dài các vectơ sau đây:

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'} \)

b) \(\overrightarrow b  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {C'A} \)

Bài 25 :

Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy thực hiện các phép toán sau đây:

a) \(\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {ND} \)

b) \(\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {NC} \)

Bài 26 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu \(\overrightarrow {AS}  - \overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CS}  - \overrightarrow {DA} \)

Bài 27 :

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Thực hiện các phép toán sau đây:

Bài 28 :

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′.

a) Tìm các vectơ tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA'} \)

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ để chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC} \)

Bài 29 :

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình 5).

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

b) So sánh hai vectơ \(\overrightarrow {BD'} ,\overrightarrow {B'D'} \)

c) Giải thích tại sao \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {AD} \).

Bài 30 :

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {AC'} \);

b) \(\overrightarrow {DB'}  + \overrightarrow {D'D}  + \overrightarrow {BD'}  = \overrightarrow {BB'} \);

c) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {C'D}  = \overrightarrow 0 \).