Đề thi giữa học kì 1 Toán 12 - Đề số 1

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x^{2} - 2025)$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - \infty;a)$ và $(b;c)$. Khoảng $(b;c)$ có bao nhiêu số nguyên?

Mỗi trang của một quyển sách giáo khoa Toán được thiết kế thỏa mãn các tiêu chí sau (trang sách có dạng hình chữ nhật ABCD, phần diện tích dùng để trình bày là MNPQ):

- Diện tích của trang sách ABCD bằng 491,04 (cm ${}^{2}$).

- Lề trên và lề dưới bằng nhau và bằng 22 (mm).

- Lề trái và phải lần lượt là 15 (mm) và 16 (mm).

Phần diện tích dùng để trình bày (sau khi căn chỉnh lề) đạt giá trị lớn nhất, khi đó chu vi mỗi trang sách bằng bao nhiêu? (đơn vị: mm).

Sau khi tiêm một loại thuốc vào cơ thể bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu (tính theo $mg/cm^{3}$) thay đổi theo công thức $C(t) = \dfrac{0,15t}{t^{2} + 1}$, trong đó $t$ là thời gian (tính theo giờ) kể từ thời điểm tiêm thuốc, $t \geq 0$. Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $mg/cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A,, B,, C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overset{\rightarrow}{F_{1}},,\overset{\rightarrow}{F_{2}},,\overset{\rightarrow}{F_{3}}$ lần lượt trên mối dây $OA,, OB,, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $\left| \overset{\rightarrow}{F_{1}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{2}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{F_{3}} \right| = 20$ (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}$.

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$.