Bài 35 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a, \(AB = a\sqrt 2 \). Biết \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi M là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng \(BD \bot (SAM)\).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABD vuông tại A có \(\tan \widehat {ADB} = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \).

Xét tam giác ADM vuông tại D có \(\tan \widehat {AMD} = \frac{{AD}}{{DM}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 \).

Do đó \(\widehat {ADB} = \widehat {AMD}\).

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {EDM} = {90^o}\) nên \(\widehat {AMD} + \widehat {EDM} = {90^o}\) \( \Rightarrow \widehat {DEM} = {90^o} \) \(\Rightarrow AM \bot BD\).

Ta có \(AM \bot BD\), \(SA \bot BD\) \( \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)\).

b) Vì tứ giác ABMD là hình thang vuông nên:

\({S_{ABMD}} = \frac{{\left( {DM + AB} \right)AD}}{2} = \frac{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + a\sqrt 2 } \right)a}}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy thể tích khối chóp S.ABMD là:

\(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABMD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{3{a^2}\sqrt 2 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).