Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng - Toán 11

Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng): Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).

Định lí 2 (tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng): Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Hệ quả của Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M vàN lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

Giải:

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD.

Khi đó, ta có: \(\frac{{QM}}{{MA}} = \frac{{QN}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN\parallel AB\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (ABC)}\\\begin{array}{l}AB \subset (ABC)\\MN\parallel AB\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (ABC)\).

Tương tự, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (ABD)}\\{AB \subset (ABD)}\\{MN\parallel AB}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (ABD)\).

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.

a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNE).

Giải:

a) Từ giả thiết, ta suy ra MN // BC và MN // AD.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (SBC)}\\\begin{array}{l}BC \subset (SBC)\\MN\parallel BC\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (SBC)\).

Tương tự, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (SAD)}\\{AD \subset (SAD)}\\{MN\parallel AD}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (SAD)\).

b) Từ giả thiết, ta có \(\frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow ME\parallel SB\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SB \not\subset (MNE)}\\\begin{array}{l}ME \subset (MNE)\\ME\parallel SB\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow SB\parallel (MNE)\).

Tương tự, gọi O là tâm của hình bình hành.

Khi đó \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EO\parallel SC\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \not\subset (MNE)}\\\begin{array}{l}EO \subset (MNE)\\EO\parallel SC\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow SC\parallel (MNE)\).