Cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn - Toán 10

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) \((a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).

- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).

- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\). Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).

- Nếu \(∆ > 0\), \(f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Giải các bất phương trình sau:

a) $3x^{2} + x + 5 \leq 0$;

b) $-3x^{2} + 2\sqrt{3}x - 1 \geq 0$;

c) $-x^{2} + 2x + 1 > 0$.

Giải:

a) Tam thức $f(x) = 3x^{2} + x + 5$ có $\Delta = -59 < 0$, hệ số $a = 3 > 0$ nên $f(x)$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi $x$, tức là $3x^{2} + x + 5 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức $f(x) = -3x^{2} + 2\sqrt{3}x - 1$ có $\Delta' = 0$, hệ số $a = -3 < 0$ nên $f(x)$ có nghiệm kép $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ và $f(x)$ luôn âm (cùng dấu với a) với mọi $x \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$, tức là $-3x^{2} + 2\sqrt{3}x - 1 < 0$ với mọi $x \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

c) Tam thức $f(x) = -x^{2} + 2x + 1$ có $\Delta' = 2 > 0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm $x_{1} = 1 - \sqrt{2}$ và $x_{2} = 1 + \sqrt{2}$.

Mặt khác $a = -1 < 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$.

2) Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $2x^{2} - 5x + 2 > 0$;

b) $- x^{2} - 2x + 8 > 0$.

Giải:

a) Tam thức bậc hai $2x^{2} - 5x + 2$ có hai nghiệm $x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = 2$ và có hệ số $a = 2 > 0$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $2x^{2} - 5x + 2$ mang dấu “+” là $\left( -\infty ; \frac{1}{2} \right) \cup (2 ; +\infty)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x^{2} - 5x + 2 > 0$ là $\left( -\infty ; \frac{1}{2} \right) \cup (2 ; +\infty)$.

b) Tam thức bậc hai $- x^{2} - 2x + 8$ có hai nghiệm $x_{1} = -4, x_{2} = 2$ và có hệ số $a = -1 < 0$.

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $- x^{2} - 2x + 8$ mang dấu “+” là $(-4 ; 2)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} - 2x + 8 > 0$ là $(-4 ; 2)$.

- Giải bất phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c > 0$ là tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol $y = ax^{2} + bx + c$ nằm phía trên trục hoành.

- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c < 0$ là tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol $y = ax^{2} + bx + c$ nằm phía dưới trục hoành.

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng $f(x) > 0$ ($f(x) = ax^{2} + bx + c$ với $a \neq 0$) bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol $y = ax^{2} + bx + c$, ta tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành. Đối với các bất phương trình bậc hai có dạng $f(x) < 0$, $f(x) \geq 0$, $f(x) \leq 0$, ta cũng làm tương tự.

Ví dụ minh hoạ:

Quan sát đồ thị ở hình vẽ và giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $x^{2} - 5x + 4 < 0$.

b) $-x^{2} + 3x > 0$.

Giải:

a) Quan sát đồ thị, ta thấy: $x^{2} - 5x + 4 < 0$ biểu diễn phần parabol $y = x^{2} - 5x + 4$ nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với $1 < x < 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - 5x + 4 < 0$ là khoảng (1; 4).

b) Quan sát đồ thị, ta thấy: $-x^{2} + 3x > 0$ biểu diễn phần parabol $y = -x^{2} + 3x$ nằm phía trên trục hoành, tương ứng với $0 < x < 3$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-x^{2} + 3x > 0$ là khoảng (0; 3).