Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Quảng cáo

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

LG a

\(y=\sin x,\;y'''\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \cos x\\
y" = - \sin x\\
y''' = - \cos x
\end{array}\)

LG b

\(y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\
y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\
y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\
y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x
\end{array}\)

LG c

\(y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\
y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\
y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\
{y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right)
\end{array}\)

LG d

\(y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\
y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :
\({y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}\)

\(= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}\)

LG e

\(y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\
y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

\({y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)

LG f

\(y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = - \sin 2x\\
y" = - 2\cos 2x\\
y"' = {2^2}\sin 2x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\
{y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

\({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x\)

Loigiaihay.com

Chia sẻ