Giải bài 3 trang 39 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên (mathbb{R}). GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn Quảng cáo
Đề bài Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên \(\mathbb{R}\). a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2\;khi\;x \le 2\\\frac{1}{{x + 1}}\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x > 2\end{array} \right.\); b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x\;khi\;x \le 1\\\frac{2}{x} + 1\;\;\;\;\;khi\;x > 1\end{array} \right.\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để xét tính liên tục và tính đạo hàm: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_0}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_0}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) Lời giải chi tiết a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{3} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\) nên f(x) gián đoạn tại \(x = 2\). Do đó, f(x) không có giới hạn tại 2, không có đạo hàm tại 2. b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{2}{x} + 1} \right) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 2x} \right) = 3;f\left( 1 \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Do đó, hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\). Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{2}{x} + 1 - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = - 2;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = 4\) Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\) Do đó, không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\) Vậy không tồn tại đạo hàm tại \(x = 1\)  Chia sẻ Bình luận
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
|
