Giải bài 4.46 trang 69 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.51. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta AEB,\Delta DEC\) là các tam giác cân đỉnh E.

b) \(AB\parallel CD.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BCA\) có:

\(\widehat {ADB} = \widehat {BCA} = {90^0}\\AD = BC\left( {gt} \right)\\AB:Chung\\ \text{Vậy }\Delta ADB = \Delta BCA\left( {ch - cgv} \right)\)

Do đó \( \widehat {ABD} = \widehat {BAC}\) (2 góc tương ứng)

Hay \(\widehat {EAB} = \widehat {EBA}\)

Suy ra \(\Delta AEB\) cân tại đỉnh E.

Vì \(\Delta ADB = \Delta BCA \) nên BD = AC và \(\widehat {DAB} = \widehat {CBA}\)

Lại có: \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} - \widehat {CAB} = \widehat {CBA} - \widehat {ABD} = \widehat {CBD}\)

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:

AD = BC

AC = BD

\(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\)

Vậy \(\Delta ADC = \Delta BCD\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó \(\widehat {DCA} = \widehat {CDB}\) (2 góc tương ứng)

Hay \(\widehat {DCE} = \widehat {CDE}\)

Vậy tam giác DEC cân tại E.

b) Ta có:

\(\widehat {ABD}= \widehat {ABE} \)

\( = \dfrac{{\widehat {ABE} + \widehat {BAE}}}{2} \)

\( = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AEB}}}{2} \)

\( = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {DEC}}}{2}\)

\( = \dfrac{{\widehat {DCE} + \widehat {CDE}}}{2} \)

\( = \widehat {CDE} = \widehat {CDB}\)

Mà 2 góc \(\widehat{ABD}\) và \(\widehat{CDB}\) ở vị trí so le trong

Vậy \(AB// CD\) (Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)