Giải bài 5.42 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \(\Delta \) và song song với đường thẳng \(\Delta '\).

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right)\), vectơ chỉ phương của \(\Delta '\) là \(\overrightarrow {u'}  = \left( {3;2; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3; - 2;1} \right)\), đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(B\left( { - 2;3;1} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 8;14;1} \right)\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5;5;0} \right)\). Suy ra \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = 110 \ne 0\).

Do đó \(\Delta \) và \(\Delta '\) chéo nhau.

b) Do (P) chứa \(\Delta \) và song song với đường thẳng \(\Delta '\) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 8;14;1} \right)\) và (P) chứa điểm \(A\left( {3; - 2;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng của (P) là \( - 8\left( {x - 3} \right) + 14\left( {y + 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 8x + 14y + z + 51 = 0\).