Giải bài 7 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạoCho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\). GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn Quảng cáo
Đề bài Cho \(a\) và \(b\) là hai số không âm và có tổng bằng 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^4} + {b^4}\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Biểu diễn \(b\) theo \(a\), đặt điều kiện, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f\left( a \right)\) trên đoạn. Lời giải chi tiết Ta có: \(a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\). Do \(a,b\) không âm nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b = 4 - a \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le 4\). Ta có: \({a^4} + {b^4} = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\). Đặt \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\) Xét hàm số \(f\left( a \right) = {a^4} + {\left( {4 - a} \right)^4}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Ta có: \(f'\left( a \right) = 4{a^3} - 4{\left( {4 - a} \right)^3}\) \(f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow {a^3} = {\left( {4 - a} \right)^3} \Leftrightarrow a = 4 - a \Leftrightarrow a = 2\). \(f\left( 0 \right) = 256;f\left( 2 \right) = 32;f\left( 4 \right) = 256\) Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( a \right) = f\left( 2 \right) = 32\). Vậy \(\min \left( {{a^4} + {b^4}} \right) = 32 \Leftrightarrow a = 2\) và \(b = 2\).  Chia sẻ Bình luận
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
