Giải bài 9.26 trang 103 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' thỏa mãn AC=3AB, B′D′=3A′B′

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'

b) Nếu A'B' = 2AB và diện tích hình chữ nhật ABCD là 2m² thì diện tích hình chữ nhật A'B'C'D' là bao nhiêu

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AC=3AB nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Ta có: B′D′=3A′B′ nên \(\frac{{A'B'}}{{B'D'}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{B'D'}}\)

Xét tam giác vuông ABC (vuông tại B) và tam giác vuông B'A'D' (vuông tại A') có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{B'D'}}\)

\(\widehat{BAC} = \widehat{B'A'D'}\)

nên ΔABC \( \backsim \) ΔA'B'D' (1)

- Xét ΔB'A'D' và ΔA′B′C′ có:

A'B' chung

A′B′ = C′D′ (A'B'C'D là hình chữ nhật)

B′D′ = A′C′(hai hình chéo của chữ nhật)

nên ΔB'A'D'=ΔA′B′C′ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔABC \( \backsim \) ΔA′B′C′

b) - Vì A′B′=2AB nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\)

mà ΔABC ∽ ΔA'B'C' nên \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\)

Diện tích ABCD là: AB.BC

Diện tích A'B'C'D' là: A′B′.B′C′

Xét tỉ lệ hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D', có

\(\frac{S_{ABCD}}{S_{A′B′C′D′}}\frac{{AB.BC}}{{A'B'.B'C'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}.\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

Do đó \(S_{A′B′C′D′}=4S_{ABCD}\)

mà \(S_{ABCD}=2m^2\) nên \(S_{A′B′C′D′}=4.2 = 8(m^2)\)