Giải mục 3 trang 121, 122 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 121 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) =  - x + 1\).

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại \(x = 1\).

b) Tính \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \;\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) và so sánh L với \(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)\).

Phương pháp giải:

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a) Các hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right),\;y = f\left( x \right) - g\left( x \right),\;y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\).

b) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại \({x_0}\) nếu \(g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 1\).

\(f\left( 1 \right) = {1^2} = 1\).

Vậy \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { - x + 1} \right) = 0\).

\(g\left( 1 \right) =  - 1 + 1 = 0\).

Vậy \(g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

b) \(f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 1 + 0 = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)\).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 122 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (a;b)\) sao cho f(c) = 0.

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là \({v_{TB}} = \frac{{180}}{3} = 60\) (km/h).

Gọi \(v(t)\) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm \(t\).

Do xe không chuyển động đều, để \({v_{TB}} = 60\), nếu có thời điểm xe chạy chậm hơn \({v_{TB}} = 60\) thì phải có thời điểm xe chạy nhanh hơn \({v_{TB}} = 60\).

Tại thời điểm xuất phát, vận tốc của xe \(v(0) = 0\) nên chắc chắn có một thời điểm \({t_1}\) xe chạy với vận tốc \(v({t_1}) > {v_{TB}} = 60\).

Xét hàm số \(f(t) = v(t) - 60\), rõ ràng \(f(t)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([0;{t_1}]\).

+ \(f(0) = v(0) - 60 = 0 - 60 =  - 60 < 0\);

+ \(f({t_1}) = v({t_1}) - 60 = v({t_1}) - 60 > 0\) (do \(v({t_1}) > 60\)).

Do đó tồn tại thời điểm \(t'\) thuộc khoảng \((0;{t_1})\) sao cho \(f(t') = 0 \Leftrightarrow v(t') - 60 = 0 \Leftrightarrow v(t') = 60\).

Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Thời điểm đó là \(t'\).