Bài 12 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right.\);        

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} + {u_3} = 144\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)

Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).

b)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} + {u_2} = 72}\\{{u_5} + {u_3} = 144}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 72}\\{{u_1}.{q^4} + {u_1}.{q^2} = 144}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 72}\\{{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} + 1} \right) = 144}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( 1 \right)}\\{}&{\left( 2 \right)}\end{array}\)

Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được: \(q = \frac{{144}}{{72}} = 2\).

Thế vào (1) ta được \({u_1} = \frac{{36}}{5}\).

Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = \frac{{36}}{5}\) và công bội \(q{\rm{\;}} = 2\).