Bài 6.20 trang 24 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{x - 1}} = 27\);

b) \({100^{2{x^2} - 3}} = 0,{1^{2{x^2} - 18}}\);

c) \(\sqrt 3 {e^{3x}} = 1\);

d) \({5^x} = {3^{2x - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({3^{x - 1}} = 27\)

\(\Leftrightarrow {3^{x - 1}} = {3^3}\)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 3 \)

\(\Leftrightarrow x = 4\).

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

b)

\({100^{2{x^2} - 3}} = 0,{1^{2{x^2} - 18}}\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{{10}^2}} \right)^{2{x^2} - 3}} = {\left( {{{10}^{ - 1}}} \right)^{2{x^2} - 18}}\)

\(\Leftrightarrow {10^{4{x^2} - 6}} = {10^{ - 2{x^2} + 18}}\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 6 =  - 2{x^2} + 18\)

\(\Leftrightarrow 6{x^2} = 24 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 4 \)

\(\Leftrightarrow x =  \pm 2\).

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\)

c) \(\sqrt 3 {e^{3x}} = 1 \)

\(\Leftrightarrow {e^{3x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \)

\(\Leftrightarrow 3x = \ln \frac{{\sqrt 3 }}{3} \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{3}\ln \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

d) \({5^x} = {3^{2x - 1}}\)

Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có:

\({\log _3}{5^x} = {\log _3}{3^{2x - 1}} \)

\(\Leftrightarrow x{\log _3}5 = 2x - 1 \)

\(\Leftrightarrow x\left( {{{\log }_3}5 - 2} \right) =  - 1\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}5 - 2}}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}5 - 2}}\).