Giải bài 1.13 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\);                         

b) \(B = \sin {6^o}\sin {42^o}\sin {66^o}\sin {78^o}\).

Lời giải chi tiết

a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\)

\(= \left( {\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\(= 2\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} - \frac{\pi }{9}}}{2}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\(= 2\sin \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right)\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{{5\pi }}{9} \)

\(= 2\sin \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right).\frac{1}{2} - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\(= \sin \left( {\frac{{4\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9} \)

\(= \sin \left( {\pi  - \frac{{4\pi }}{9}} \right) - \sin \frac{{5\pi }}{9}\)

\(= \sin \frac{{5\pi }}{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} = 0\).

b) Vì $\sin {{78}^o}=\cos {{12}^o}$, $\sin {{66}^o}=\cos {{24}^o}$, $\sin {{42}^o}=\cos {{48}^o}$ nên

$B=\sin {{6}^o}.\cos {{12}^o}.\cos {{24}^o}.\cos {{48}^o}$.

Nhân hai vế với \(\cos 6^o\) và áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

$\cos 6^o= \cos 6^o.\sin {{6}^o}.\cos {{12}^o}.\cos {{24}^o}.\cos {{48}^o}$

$=\frac{1}{16}.\sin {{96}^o} =\frac{1}{16}\sin ({{90}^o}+{{6}^o})=\frac{1}{16}\cos {{6}^o}$.

Vậy B = $\frac{1}{16}$.