Giải bài 3 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam thức bậc hai với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm A(2; 3).

a) Xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai f(x).

b) Vẽ parabol này.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b), hãy cho biết khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và tập giá trị của hàm số y = f(x).

d) Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình \(\frac{{f(x)}}{{x - 2}} \ge 0\).

Lời giải chi tiết

a)  Parabol có đỉnh là I(1; 4) nên phương trình có dạng \(y = a{(x - 1)^2} + 4\).

Vì điểm A(2; 3) thuộc parabol nên ta có:

\(3 = a{(2 - 1)^2} + 4 \Rightarrow a =  - 1\).

Vậy tam thức cần tìm là \(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3\) ta có a = -1, b = 2, c = 3.

b) Ta có a = -1.

Đỉnh I(1; 4), trục đối xứng x = 1.

Giao điểm của parabol với trục Oy là (0; 3), với trục Ox là (-1; 0) và (3; 0).

 

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1), nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Tập giá trị của hàm số là (-∞; 4].

d) Xét bất phương trình \(\frac{{f(x)}}{{x - 2}} \ge 0\) hay \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} \ge 0\).

\(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

\(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Ta có bảng xét dấu sau:

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( - \infty ; - 1] \cup (2;3]\).