Giải bài 4.44 trang 69 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABD\) vuông tại B.

b) \(\Delta ABD = \Delta BAC\)

c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta DMB\) có

MA = MD

MC = MB

\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB}\) (2 góc đối đỉnh)

Vậy \(\Delta AMC = \Delta DMB\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó \(\widehat {DBM} = \widehat {MCA}\) (2 góc tương ứng)

Ta có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {ABM} + \widehat {DBM} = \widehat {ABC} + \widehat {BCA} = {90^0}\)

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BAC\) có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {BAC} = {90^0}\)

\(BD = CA\) (do \(\Delta AMC = \Delta DMB\))

AB: Cạnh chung

Suy ra \(\Delta ABD = \Delta BAC\left( {c - g - c} \right)\)

c) Vì \(\Delta ABD = \Delta BAC\left( {cmt} \right) \) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {BDA}\) (2 góc tương ứng)

Mặt khác: \(AC//BD\) (vì cùng vuông góc với AB) nên \(\widehat {BDA} = \widehat {CAD}\) (2 góc so le trong)

Vì vậy ta có: \(\widehat {MCA} = \widehat {ACB} = \widehat {CAD} = \widehat {CAM}\)

Do đó tam giác AMC cân tại đỉnh M nên MA = MC

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC

Suy ra \(MA=MB\)

Do đó tam giác AMB cân tại đỉnh M.