Giải mục 2 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

a) Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) tuỳ ý trên \(a\) và gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( P \right)\) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng \(AH\) và \(BK\).

b) Cho hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Lấy hai điểm \(A,B\) tuỳ ý trên \(\left( P \right)\) và gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) và \(B\) trên \(\left( Q \right)\) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng \(AH\) và \(BK\).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép chiếu vuông góc.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AH \bot \left( P \right)\\BK \bot \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH\parallel BK\)

Mà \(AB\parallel HK\)

\( \Rightarrow ABKH\) là hình bình hành có \(AH \bot \left( P \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \widehat {AHK} = {90^ \circ }\)

Vậy \(ABKH\) là hình chữ nhật.

Vậy \(AH = BK\).

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AH \bot \left( Q \right)\\BK \bot \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH\parallel BK\)

Mà \(AB\parallel HK\)

\( \Rightarrow ABKH\) là hình bình hành có \(AH \bot \left( Q \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \widehat {AHK} = {90^ \circ }\)

Vậy \(ABKH\) là hình chữ nhật.

Vậy \(AH = BK\).

Thực hành 2

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {A'C'B} \right)\).

b) Giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Phương pháp giải:

Đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $(ACD') // (BA'C')$

$\Rightarrow d((ACD'), (BA'C')) = d(B, (ACD'))$

$= d(D, (ACD'))$.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên OD'.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BD}\\{DD' \bot (ABCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BD}\\{DD' \bot AC}\end{array}} \right.\)

$\Rightarrow AC \perp (BDD'B') \Rightarrow AC \perp DI$ và $DI \perp OD'$

$\Rightarrow DI \perp (D'AC) \Rightarrow d(D, (D'AC)) = DI$.

- Xét tam giác ABD vuông tại A nên ta có:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = a\sqrt{2} \Rightarrow OD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

- Xét tam giác D'DO vuông tại D có DI là đường cao nên:

$\frac{1}{DI^2} = \frac{1}{OD^2} + \frac{1}{DD'^2} = \frac{2}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2}$

$\Rightarrow d((ACD'), (A'C'B')) = DI = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

b) Ta có: AB // (A'B'C'D').

Do đó $d(AB, (A'B'C'D')) = AA' = a$.