Giải mục 4 trang 36 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại mấy điểm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Phương pháp giải:

Nghiệm của phương trình \(\tan x = 1\) là hoành độ các giao điểm của đường thẳng \(y = 1\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).

Lời giải chi tiết:

a) Từ Hình 1.24, ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại 1 điểm \(x = \frac{\pi }{4}\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Hàm số $ y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.

Ta có công thức nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 36 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 3 \tan 2x =  - 1\);

b) \(\tan 3x + \tan 5x = 0\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \)

\(\Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) ĐKXĐ: \(\cos 2x \ne 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Phương trình tương đương:

\(\tan 2x =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\(\Leftrightarrow \tan 2x = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x =  - \frac{\pi }{6} + l\pi \)

\(\Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{l\pi }}{2}\) \((l \in \mathbb{Z})\).

Kết hợp với ĐKXĐ:

\(\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \ne  - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{l\pi }}{2} \Leftrightarrow l - k \ne \frac{2}{3}\).

Vì k, l nguyên nên \(l - k \ne \frac{2}{3}\) luôn đúng.

Do đó, nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{\pi }{{12}} + \frac{{l\pi }}{2}\) \((l \in \mathbb{Z})\).

b) ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 3x \ne 0}\\{\cos 5x \ne 0}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{5x \ne \frac{\pi }{2} + l\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{l\pi }}{5}}\end{array}} \right.\) \((k,l \in \mathbb{Z})\).

Phương trình tương đương:

\(\tan 3x =  - \tan 5x \)

\(\Leftrightarrow \tan 3x = \tan ( - 5x)\)

\( \Leftrightarrow 3x =  - 5x + m\pi \)

\(\Leftrightarrow 8x = m\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{m\pi }}{8}\) \((m \in \mathbb{Z})\).

Kết hợp ĐKXĐ:

+) \(\frac{{m\pi }}{8} \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3} \Leftrightarrow 3m \ne 4(2k + 1)\).

Xét \(3m = 4(2k + 1)\): Vì \(4(2k + 1)\) chia hết cho 4 nên 3m cũng phải chia hết cho 4. Mà ƯCLN(3, 4) = 1 nên m phải chia hết cho 4.

Vậy để \(3m \ne 4(2k + 1)\) thì m không chia hết cho 4.

Đặt m = 4u \((u \in \mathbb{Z})\). Khi đó:

\(3.4u = 4(2k + 1) \Leftrightarrow k = \frac{{3u - 1}}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow u\) là số lẻ.

Đặt t = 2v + 1 \((v \in \mathbb{Z})\). Khi đó:

\(m = 4(2v + 1) = 8v + 4\) (1)

+) \(\frac{{m\pi }}{8} \ne \frac{\pi }{{10}} + \frac{{l\pi }}{5} \Leftrightarrow 5m \ne 4(2l + 1)\).

Xét \(5m = 4(2l + 1)\): Vì \(4(2l + 1)\) chia hết cho 4 nên 5m cũng phải chia hết cho 4. Mà ƯCLN(5, 4) = 1 nên m phải chia hết cho 4.

Đặt m = 4t \((t \in \mathbb{Z})\). Khi đó:

\(5.4t = 4(2l + 1) \Leftrightarrow l = \frac{{5t - 1}}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow t\) là số lẻ.

Đặt t = 2n + 1 \((n \in \mathbb{Z})\). Khi đó:

\(m = 4(2n + 1) = 8n + 4\) (2)

Từ (1) và (2), ta được phương trình có nghiệm \(x = \frac{{m\pi }}{8}\) với \(m \ne 8n + 4\) \((m,n \in \mathbb{Z})\).

Chú ý: Có thể sử dụng đường tròn lượng giác để loại nghiệm.