Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc lượng giác - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trên đường tròn, lấy điểm \(M(x_M;y_M)\) như hình vẽ. Khi đó:

\(x = \cos \alpha \);

\(y = \sin \alpha \);

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{y}{x}\) \(\left( {x \ne 0} \right)\);

\(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{x}{y}\) \(\left( {y \ne 0} \right)\).

- Các giá trị \(\sin \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \), \(\cot \alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác \(\alpha \).

* Chú ý:

a) Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

Trục As có gốc ở điểm A(1;0) và song song với trục sin là trục tang.

Trục Bt có gốc ở điểm B(0;1) và song song với trục cosin gọi là trục cotang.

b) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \in \mathbb{R}\).

\(\tan \alpha \) xác định với các góc \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\cot \alpha \) xác định với các góc \(\alpha  \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

c) Với mọi góc lượng giác \(\alpha \) và số nguyên k, ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha \end{array}\)

d) Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

- Lần lượt ấn các phím SHIFT \( \to \) MENU \( \to \) 2:

Để chọn đơn vị độ: ấn phím 1 (Degree).

Để chọn đơn vị radian: ấn phím 2 (Radian).

- Ấn các phím MENU 1 để vào chế độ tính toán.

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\left( {\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\\1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {\alpha  \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\left( {\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

• Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( - \alpha \)

\(\begin{array}{l}\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

• Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \(\pi -\alpha \)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \\\cot \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \end{array}\)

• Hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \(\frac{\pi }{2}-\alpha \)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = c{\rm{os}}\alpha \\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \end{array}\)

• Hai góc hơn kém \(\pi \) và \(\pi +\alpha \)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \sin \alpha \\\cos \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \cos \alpha \\\tan \left( {\pi  + \alpha } \right) = \tan \alpha \\\cot \left( {\pi  + \alpha } \right) = \cot \alpha \end{array}\)