Bài 1 trang 113 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

b) Gọi \({G_1},{G_2}\) lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D’).

Chứng minh rằng \({G_1},{G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng \(B{G_1} = {G_1}{G_2} = D'{G_2}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AD // B'C’' AD = B'C' nên ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra AB' // DC' nên AB' // (A’C’D) (1)

Ta có: (ACC'A') là hình bình hành nên AC // A'C'.

Suy ra AC // (A'C'D') (2)

Mà AB', AC thuộc (ACB') (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  (ACB‘) // (A'C'D).

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’.

Trong (BDD’B’): B’O cắt BD’.

Mà B’O thuộc (ACB’), BD’ cắt (ACB’) tại \({G_1}\).

Suy ra: B’O cắt BD’ tại \({G_1}\).

Tương tự, ta có: DO’ cắt BD’ tại \({G_2}\).

Ta có: tam giác \({G_1}OB\) đồng dạng với tam giác \({G_1}B'D'\) (do BD // B’D’).

Suy ra \(\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B'}} = \frac{{OB}}{{B'D'}} = \frac{1}{2}\).

Nên \(\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B'}} = \frac{2}{3}\).

Do đó: \({G_1}\) là trọng tâm tam giác ACB’.

Chứng minh tương tự ta có: \({G_2}\) là trọng tâm tam giác A’C’D.

c) Ta có tam giác \({G_1}OB\) đồng dạng với tam giác \({G_1}B'D'\).

Suy ra \(\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B'}} = \frac{{OB}}{{B'D'}} = \frac{1}{2}\).

Nên \({G_1}B = \frac{1}{3}BD'(1)\).

Tương tự ta có:\(\frac{{{G_2}D'}}{{{G_2}B}} = \frac{{OD'}}{{DB}} = \frac{1}{2}\).

Nên \({G_2}D' = \frac{1}{3}{\rm{DD}}'(2)\).

Từ (1) và (2) suy ra\({G_1}B = {G_1}{G_2} = {G_2}D'\).