Bài 6 trang 72 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\);

b) \(y = \ln x\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = e\);

c) \(y = {e^x}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) \(y' = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 4} \right)' = 3{x^2} - 6x\), \(y'\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 = 0\).

Thay \({x_0} = 2\) vào phương trình \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) ta được:

\(y = {2^3} - {3.2^2} + 4 = 0\).

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: \(y = 0.(x - 2) + 0 = 0\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = 0.

b) \(y' = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\), \(y'(e) = \frac{1}{e}\).

Thay \({x_0} = e\) vào phương trình \(y = \ln x\) ta được: \(y = \ln e = 1\).

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

\(y = \frac{1}{e}.\left( {x - e} \right) + 1 = \frac{1}{e}x - 1 + 1 = \frac{1}{e}x\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: \(y = \frac{1}{e}x\).

c) \(y' = \left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\), \(y'(0) = {e^0} = 1\).

Thay \({x_0} = 0\) vào phương trình \(y = {e^x}\) ta được: \(y = {e^0} = 1\).

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: \(y = 1.\left( {x - 0} \right) + 1 = x + 1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: \(y = x + 1\).