Tìm số tự nhiên \(n\) để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố.
Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm số tự nhiên \(n\) là số nguyên tố.
Ta có:
\({n^3} - {n^2} + n - 1 = \left( {{n^3} - {n^2}} \right) + \left( {n - 1} \right) = {n^2}\left( {n - 1} \right) + \left( {n - 1} \right) = \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\)
Với mọi số tự nhiên \(n\), ta có: \(n - 1 < {n^2} + 1\). Do đó, để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố thì \(n - 1 = 1\). Suy ra \(n = 2\). Khi đó \({n^3} - {n^2} + n - 1 = 5\) là số nguyên tố.
Vậy \(n = 2\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Phân tích đa thức \(3{x^3} - 8{x^2} - 41x + 30\) thành nhân tử
-
A.
\((3x - 2)(x + 3)(x - 5)\).
-
B.
\(3(x - 2)(x + 3)(x - 5)\).
-
C.
\((3x - 2)(x - 3)(x + 5)\).
-
D.
\((x - 2)(3x + 3)(x - 5)\).
Bài 2 :
Phân tích đa thức \(2{x^2} - 4xy + 2y - x\) thành nhân tử.
Bài 3 :
Tính nhanh giá trị của biểu thức
\(A = {x^2} + 2y - 2x - xy\) tại \(x = 2022,y = 2020\)
Bài 4 :
Đa thức \({x^2} - 9x + 8\) được phân tích thành tích của hai đa thức
A. \(x - 1\) và \(x + 8\)
B. \(x - 1\) và \(x - 8\)
C. \(x - 2\) và \(x - 4\)
D. \(x - 2\) và \(x + 4\)
Bài 5 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(8{x^3} - 1\)
b) \({x^3} + 27{y^3}\)
c) \({x^3} - {y^6}\)
Bài 6 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \({x^2} - xy + x - y\)
b) \({x^2} + 2xy - 4x - 8y\)
c) \({x^3} - {x^2} - x + 1\)
Bài 7 :
Cho đa thức: \({x^2} - 2{\rm{x}}y + {y^2} + x - y\)
a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích
b) Phân tích đa thức trên thành nhân tử
Bài 8 :
Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
\(a){x^2} - 25 - 4{\rm{x}}y + 4{y^2}\) \(b){x^3} - {y^3} + {x^2}y - x{y^2}\) \(c){x^4} - {y^4} + {x^3}y - x{y^3}\)
Bài 9 :
Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a) \(A = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2}y - {x^2} + {y^2} + y\) biết \({x^2} - y = 6\)
b) \(B = {x^2}{y^2} + 2{\rm{x}}yz + {z^2}\) biết xy + z = 0.
Bài 10 :
Cho đa thức \({x^2} - 6x + 2xy - 12y.\)
- Các hạng tử của đa thức trên có nhân tử chung không?
- Viết \({x^2} - 6x + 2xy - 12y = \left( {{x^2} - 6x} \right) + \left( {2xy - 12y} \right)\) rồi phân tích mỗi đa thức trong ngoặc thành nhân tử. Từ đó phân tích đa thức \({x^2} - 6x + 2xy - 12y\) thành nhân tử.
Bài 11 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(2{x^2}y + {x^2}z - 2{y^2} - yz\).
Bài 12 :
Tính nhanh: \(91.122,5 - 91.17,5 + 122,5.9 - 17,5.9\).
Bài 13 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^2} + {x^3} - {y^2} - {y^3}\)
Bài 14 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(x + 2x\left( {x - y} \right) - y\);
b) \({x^2} + xy - 3x - 3y\);
c) \(xy - 5y + 4x - 20\);
d) \(5xy - 25{x^2} + 50x - 10y\).
Bài 15 :
Tính giá trị của biểu thức:
a) \(P = 7\left( {a - 4} \right) - b\left( {4 - a} \right)\) tại \(a = 17\) và \(b = 3\);
b) \(Q = {a^2} + 2ab - 5a - 10b\) tại \(a = 1,2\) và \(b = 4,4\).
Bài 16 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(4{a^2} - 4{b^2} - a - b\);
b) \(9{a^2} - 4{b^2} + 4b - 1\);
c) \(4{x^3} - {y^3} + 4{x^2}y - x{y^2}\);
d) \({a^3} - {b^3} + 4ab + 4{a^2} + 4{b^2}\).
Bài 17 :
Phân tích đa thức \(5x - 5y + ax - ay\) thành nhân tử, ta nhận được
A. \(\left( {5 + a} \right)\left( {x - y} \right)\)
B. \(\left( {5 - a} \right)\left( {x + y} \right)\)
C. \(\left( {5 + a} \right)\left( {x + y} \right)\)
D. \(5\left( {x - y + a} \right)\)
Bài 18 :
Đa thức \({x^2} - 3xy + 2{y^2}\) được phân tích thành tích của hai đa thức:
A. x + 2y và x – y.
B. x – 2y và x + y.
C. x + 2y và x + y.
D. x – 2y và x – y.
Bài 19 :
Đa thức \({x^2} + 5x + 6\) được phân tích thành tích của hai đa thức:
A. x + 2 và x – 3.
B. x – 2 và x – 3.
C. x + 2 và x + 3.
D. x – 2 và x + 3.
Bài 20 :
Đa thức \({x^2} - 9x + 8\) được phân tích thành tích của hai đa thức
A. x – 1 và x + 8.
B. x – 1 và x – 8.
C. x – 2 và x – 4.
D. x – 2 và x + 4.
Bài 21 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(2{x^2}\;-3x + 1\).
b) \(3{x^2}\; + 4x + 1\).
Bài 22 :
Phân tích đa thức \( 5{x^2} - 4x + 10xy - 8y\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)\)
-
B.
\(\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
-
C.
\(\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
-
D.
\(\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)\)
Bài 23 :
Cho đa thức: \(f(x) = {x^2} - 15{\rm{x}} + 56\)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Tìm x sao cho f(x) = 0
Bài 24 :
Cho đa thức: \(f(x) = {x^2} - 15{\rm{x}} + 56\)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Tìm x sao cho f(x) = 0
Bài 25 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x2 – 3x + 1.
b) 3x2 + 4x + 1.
Bài 26 :
Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 + x3 – x2 – 1
