Cách xét dấu tam thức bậc hai - Toán 10

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) \((a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).

- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).

- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\). Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).

- Nếu \(∆ > 0\), \(f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\).

1) Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(3{x^2} - 2x + 1\);

b) \( - {x^2} + 4x + 5\);

c) \( - 4{x^2} + 12x - 9\).

Giải:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\a = 3 > 0\end{array} \right.\) suy ra \(3{x^2} - 2x + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Phương trình \( - {x^2} + 4x + 5 = 0\) có \(\Delta  > 0\), a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.

Bảng xét dấu:

Suy ra \( - {x^2} + 4x + 5 > 0\) khi \(x \in ( - 1;5)\) và \( - {x^2} + 4x + 5 < 0\) khi \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (5; + \infty )\).

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\a =  - 4 < 0\end{array} \right.\), phương trình \( - 4{x^2} + 12x - 9 = 0\) có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\).

Suy ra \( - 4{x^2} + 12x - 9 < 0\) \(\forall x \ne \frac{3}{2}\).

2) Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) \(f(x) = 3{x^2} - x + 1\);

b) \(f(x) = 4{x^2} + 4x + 1\).

Giải:

a) Tam thức bậc hai \(f(x) = 3{x^2} - x + 1\) có \(\Delta  =  - 11 < 0\), hệ số \(a = 3 > 0\) nên \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) Tam thức bậc hai \(f(x) = 4{x^2} + 4x + 1\) có \(\Delta  = 0\), nghiệm kép \({x_0} =  - \frac{1}{2}\) và hệ số \(a = 4 > 0\) nên \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).