Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Phương pháp giải:

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\cos \left( {\alpha  + \alpha } \right) = \cos 2\alpha  = \cos \alpha \cos \alpha  - \sin \alpha \sin\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \)

\(= \cos ^2\alpha  + \sin ^2\alpha  - 2\sin ^2\alpha  = 1 - 2\sin ^2\alpha  = 2\cos ^2a - 1\).

\(\tan 2\alpha  = \tan \left( {\alpha  + \alpha } \right) = \frac{{\tan \alpha  + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha .\tan \alpha }} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\).

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 22 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tính \(\cos \frac{\pi }{8}\) và \(\tan \frac{\pi }{8}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\cos\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = 2\cos^2 \frac{\pi }{8} - 1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt 2  + 2}}{4}\)

\( \Rightarrow \cos\frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{\sqrt 2  + 2}}{4}}  = \frac{{\sqrt {\sqrt 2  + 2} }}{2}\) (vì \(0 < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{2}\)).

Ta có:

\(\tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{2\tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\pi }{8}}} = 1\)

\(\Leftrightarrow 1 - {\tan ^2}\frac{\pi }{8} = 2\tan \frac{\pi }{8}\)

\(\Leftrightarrow {\tan ^2}\frac{\pi }{8} + 2\tan \frac{\pi }{8} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{8} =  - 1 + \sqrt 2 \)(vì \(0 < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{2}\)).