Giải mục 2 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n}\); \({v_n} = 4 - \frac{2}{n}\).

a) Tính \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).

b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}\).

c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tích \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(\lim \left( {8 + \frac{1}{n} - 8} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 8\).

Vì \(\lim \left( {4 - \frac{2}{n} - 4} \right) = \lim \frac{{ - 2}}{n} = 0\) nên \(\lim {v_n} = 4\).

b) \({u_n} + {v_n} = 8 + \frac{1}{n} + 4 - \frac{2}{n} = 12 - \frac{1}{n}\).

Vì \(\lim \left( {12 - \frac{1}{n} - 12} \right) = \lim \frac{{ - 1}}{n} = 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 12\).

Mà \(\lim {u_n} + \lim {v_n} = 12\).

Do đó \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n}\).

c) \({u_n}.{v_n} = \left( {8 + \frac{1}{n}} \right).\left( {4 - \frac{2}{n}} \right) = 32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}\).

Sử dụng kết quả của ý b, ta có: \(\lim \left( {32 - \frac{{14}}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\)

\(= \lim 32 - \lim \frac{{14}}{n} - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 32\).

Mà \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right) = 32\).

Do đó \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right)\).

LT-VD4

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 4 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}}\);                   

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}} = \lim \left( {8 + \frac{1}{n}} \right)\)

\(= \lim 8 + \lim \frac{1}{n} = 8 + 0 = 8\).

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} }}{n}\)

\(= \sqrt {\lim \left( {\frac{4}{{{n^2}}} + 1} \right)}  = \sqrt {0 + 1}  = 1\).