Giải mục 6 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 40 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

a) \(\cos x = 0,4\);

b) \(\tan x = \sqrt 3\).

Phương pháp giải:

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \(\cos \alpha  = m\). Khi đó:

\(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+ Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó:

\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: \(\cos 1,16 \approx 0,4\) nên \(\cos x = \cos 1,16\) do đó các nghiệm của phương trình là \(x = 1,16 + k2\pi \) hoặc \(x = -1,16 + k2\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 1,16 + k2\pi ;-1,16 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\} \).

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: \(\tan x = \sqrt 3 \) nên \(\tan x = \tan\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 40 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là \(x = 17\cos 5\pi t\) \(\left( {cm} \right)\) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng \(|x|\) vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Phương pháp giải:

Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \(\cos \alpha  = m\). Khi đó:

\(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(\left| {17cos5\pi t} \right| = 10\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}17\cos 5\pi t = 10\\17\cos 5\pi t =-10\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 5\pi t = \frac{{10}}{{17}}\\\cos 5\pi t = -\frac{{10}}{{17}}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\pi t =  \pm 0,9 + k2\pi \\5\pi t =  \pm 2,2 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  \pm 0,06 + k\frac{2}{5}\\t =  \pm 0,14 + k\frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Độ dài bóng \(|x|\) bằng 10 cm tại các thời điểm \(t =  \pm 0,06 + k\frac{2}{5}\), \(t =  \pm 0,14 + k\frac{2}{5}\), \(k \in \mathbb{Z}\).