Lý thuyết Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Trung vị

Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

• Gọi n là cỡ mẫu.
• Giả sử đó là nhóm thứ p: \({\rm{[}}{u_m};{u_{m + 1}})\).
• \({n_m}\)là tần số của nhóm chứa trung vị.
• \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó trung vị là:

\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

* Ý nghĩa: Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.

2. Tứ phân vị

- Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

• Giả sử nhóm chứa \({Q_1}\) là nhóm \({\rm{[}}{u_m};{u_{m + 1}})\).
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa phân vị thứ nhất.
• \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó,

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

- Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

• Giả sử nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \({\rm{[}}{{\rm{u}}_j};{u_{j + 1}})\).
• \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa phân vị thứ ba.
• \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\).

 Khi đó,

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)

- Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

- Nếu tứ phân vị thứ k là \(\frac{1}{2}\left( {{x_m} + {x_{m + 1}}} \right)\), trong đó \({x_m}\) và \({x_{m + 1}}\) thuộc hai nhóm liên tiếp thì ta lấy \({Q_k} = {u_j}\).

* Ý nghĩa:

- Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

- Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn \(Q_2\)) và nửa trên (các dữ liệu lớn hơn \(Q_2\)) của mẫu số liệu.