Lý thuyết Các dạng toán ôn thi vào lớp 6 - Ôn hè Toán 5

1. Một số dạng toán có lời văn thường gặp

a) Bài toán sử dụng phương pháp "giả thiết tạm"

Đối với các bài toán cần sử dụng phương pháp "giả thiết tam", ta làm như sau:

Bước 1: Đặt giả thiết tạm cho một tình huống không xảy ra.

Bước 2: Tính sự chênh lệch giữa "giá trị thực" và "giá trị giả thiết" của đại lượng đã chọn ở bước 1.

Bước 3: Phân tích sự chênh lệch, tìm được các đại lượng cần tìm.

Ví dụ

Trang trại của bác Nam có tất cả 30 con vừa gà vừa lợn. Bác Nam đếm được tất cả 92 cái chân vừa gà vừa lợn. Hỏi trang trại của bác Nam có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con lợn?

Bài giải

Giả sử 30 con trong trang trại đều là con lợn thì có tất cả số cái chân là:

30 x 4 = 120 (cái chân)

Số cái chân tăng lên so với thực tế là:

120 - 92 = 28 (cái chân)

Cứ mỗi lần thay 1 con gà bằng 1 con lợn thì số cái chân tăng lên là:

4 - 2 = 2 (cái chân)

Trang trại bác Nam có số con gà là:

28 : 2 = 14 (con)

Trang trại bác Nam có số con lợn là:

30 – 14 = 16 (con)

Đáp số: 14 con gà; 16 con lợn

b) Bài toán sử dụng phương pháp “khử”

Đối với các bài toán cần sử dụng phương pháp “khử”, ta làm như sau:

Bước 1: Biểu diễn mối liên hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Đưa một đại lượng về cùng hệ số rồi tiến hành “khử”.

Bước 3: Tính tất cả các đại lượng cần tìm.

Ví dụ

Ban Hồng mua 4 gói bánh và 3 túi kẹo hết 205 000 đồng. Bạn Thảo mua 4 gói bánh và 5 túi kẹo hết 235 000 đồng. Hỏi giá tiền của mỗi gói bánh là bao nhiêu? Giá tiền mỗi gói kẹo là bao nhiêu?

Tóm tắt:

4 gói bánh + 3 túi kẹo = 205 000 đồng

4 gói bánh + 5 túi kẹo = 235 000 đồng

Bài giải

Bạn Thảo mua nhiều hơn bạn Hồng số túi kẹo là:

5 - 3 = 2 (túi)

Bạn Thảo phải nhiều hơn bạn Hồng số tiền là:

235 000 - 205 000 = 30 000 (đồng)

Giá tiền của một túi keo là:

30 000 : 2 = 15 000 (đồng)

Giá tiền của 4 gói bánh là:

205 000 – 15 000 × 3 = 160 000 (đồng)

Giá tiền của một gói bánh là:

16 0000 : 4 = 40 000 (đồng)

Đáp số: Gói bánh: 40 000 đồng; Túi kẹo: 15 000 đồng

c) Bài toán hai hiệu số

Để giải bài toán hai hiệu số, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm hai hiệu số (của hai đại lượng khác nhau).

Bước 2: Xác định mối liên hệ giữa hai hiệu số tìm được ở bước 1.

Bước 3: Đặt phép chia của hiệu có giá trị lớn hơn cho hiệu có giá trị nhỏ hơn. Từ đó tìm được giá trị một đại lượng.

Ví dụ

Bà chia táo cho các cháu, nếu chia cho mỗi cháu 5 quả thì còn thừa 5 quả. Nếu chia cho mỗi cháu 7 quả thì thiếu 3 quả. Hỏi bà có bao nhiêu quả táo? Có bao nhiêu cháu được chia táo?

Bài giải

Vì nếu mỗi cháu được 5 quả thì thừa 5 quả, mỗi cháu 7 quả thì thiếu 3 quả nên ta có sơ đồ sau:

Số quả đủ chia mỗi cháu 7 quả nhiều hơn số quả đủ chia mỗi cháu 5 quả là:

5 + 3=8 (quả)

Mỗi cháu được chia 7 quả thì nhiều hơn mỗi cháu được chia 5 quả số quả là:

7 - 5 = 2 (quả)

Có tất cả số cháu được bà chia táo là:

8 : 2 = 4 (cháu)

Bà có tất cả số quả táo là:

4 x 5 + 5 = 25 (quả)

Đáp số: 25 quả táo; 4 cháu

d) Bài toán sử dụng phương pháp “tính ngược từ cuối”

Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp một số phép tính đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này, ta thường dùng phương pháp “tính ngược từ cuối” để tìm ra số đó. Có thể vẽ sơ đồ, lập bảng,... để tính.

Ví dụ

Việt và Nam sưu tầm một số thẻ bài. Nếu Việt cho Nam một số tấm thẻ đúng bằng số thẻ mà Nam đang có; rồi Nam lại cho Việt một số tấm thẻ đúng bằng số thẻ còn lại của Việt thì lúc đó Nam sẽ có 35 tấm thẻ và Việt có 30 tấm thẻ. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tấm thẻ bài?

Bài giải

Trước khi Nam cho Việt thì Việt có số tấm thẻ là:

30 : 2 = 15 (tấm)

Trước khi Nam cho Việt thì Nam có số tấm thẻ là:

35 + 15 = 50 (tấm)

Trước khi Việt cho Nam hay lúc đầu Nam có số tấm thẻ là:

50 : 2 = 25 (tấm)

Lúc đầu Việt có số tấm thẻ là:

15 + 25 = 40 (tấm)

Đáp số: Việt: 40 tấm thẻ; Nam: 25 tấm thẻ

2. Dãy số có quy luật

Một số dãy số có quy luật phức tạp:

- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ với một số tự nhiên a.

Ví dụ: 100; 97; 94; 91; ... (lấy số hạng đứng trước trừ cho 3)

- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia với một số tự nhiên q khác 0.

Ví dụ: 2; 4; 8; 16; 32; ... (lấy số hạng đứng trước nhân với 2)

- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó

Ví dụ: 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ... (5 = 2 + 3; 8 = 5 + 3; ...)

- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

Ví dụ: 1; 2; 3; 8; 14; 21; 29; 38; ... (8 = 3+1 + 4; 14 = 8 + 1 + 5; 21 = 14+1+6;-)

- Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.

Ví dụ: 3; 6; 18; ... (6 = 3 x 2; 18 = 6 x 3; ...)

- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ) n (n khác 0).

Ví dụ: 1; 3; 7; 15; 31; 63; ... (3 = 1 x 2 + 1; 7 = 3 x 2 + 1; 15 = 7 x 2 + 1; ...)

3. Một số dạng toán về tỉ số

a) Bài toán hai tỉ số

Dạng 1: Bài toán hai tỉ số có “Tổng hai số” là thành phần không đổi

Dạng 2: Bài toán hai tỉ số có “Hiệu hai số” là thành phần không đổi

Dạng 3: Bài toán hai tỉ số có tổng (hiệu) thay đổi nhưng có “1 đại lượng” không đổi

Dạng 4: Bài toán hai tỉ số không xác định được thành phần không đổi

Phương pháp

Để xử lí các bài toán hai tỉ số có hai thành phần X và Y, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác định thành phần không đổi. (Tổng của X và Y; Hiệu của X và Y; Đại lượng X, Đại lượng Y)

Chú ý: Nếu bài toán không xác định được thành phần không đổi, ta cần tạo ra thành phần không đổi

Bước 2: Xác định tỉ số của X (hoặc Y) với thành phần không đổi trong từng tình huống.

Bước 3: Tính xem lượng thêm hoặc bớt ở X (hoặc Y) ứng với bao nhiêu phần của thành phần không đổi.

Bước 4: Tìm ra thành phần không đổi rồi đưa về bài toán cơ bản.

Ví dụ

Dạng 2: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Bốn năm trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.

Bài giải

Hiệu số tuổi của mẹ và con không thay đổi qua các năm.

Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Do đó tuổi mẹ bằng  hiệu số tuổi của hai mẹ con.

Bốn năm trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Do đó tuổi mẹ bằng   hiệu số tuổi của hai mẹ con.

4 tuổi tương ứng với:  (hiệu số tuổi của hai mẹ con)

Hiệu số tuổi của hai mẹ con là: 4 :  = 24 (tuổi)

Tuổi của mẹ hiện nay là: 24 × = 36 (tuổi)

Tuổi của con hiện nay là: 36 – 24 = 12 (tuổi)

Đáp số: Mẹ 36 tuổi; Con 12 tuổi.

Đáp số: 100

b) Bài toán công việc chung, công việc riêng

Các dạng bài thường gặp và phương pháp:

Dạng 1: Biết thời gian làm riêng một công việc, yêu cầu tìm thời gian làm chung công việc đó

Bước 1: Quy ước một đại lượng (như công việc cần hoàn thành, quãng đường cần đi, thể tích của bể nước,...) là đơn vị.

Bước 2: Tính số phần công việc làm riêng trong một giờ.

Bước 3: Tính số phần công việc làm chung trong một giờ.

Bước 4: Tính thời gian làm chung để hoàn thành công việc đó.

Dạng 2: Biết thời gian làm chung để xong của 2 người và thời gian làm riêng xong của người 1, yêu cầu tính thời gian làm riêng để xong của người 2

Bước 1: Quy ước công việc cần hoàn thành là đơn vị.

Bước 2: Tính số phần công việc làm chung trong 1 giờ.

Bước 3: Tính số phần công việc làm riêng trong 1 giờ của người 1.

Bước 4: Tính số phần công việc làm riêng trong 1 giờ của người 2.

Bước 5: Tính thời gian người 2 làm riêng hoàn thành công việc/

Dạng 3: Biết thời gian làm riêng công việc và tổng thời gian hai người làm tiếp để xong công việc, yêu cầu tính thời gian mỗi người làm

Kết hợp nhiều phương pháp giải.

Ví dụ

Dạng 1: Hai người thợ làm chung một công việc. Người thợ thứ nhất làm một mình thì xong công việc trong 4 giờ. Người thợ thứ hai làm một mình thì xong cong việc trong 6 giờ. Hỏi cả hai người cùng làm thì hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Bài giải

Ta quy ước "công việc" là đơn vị.

Mỗi giờ, người thợ thứ nhất làm được: 1 : 4 =  (công việc)

Mỗi giờ, người thợ thứ hai làm được: 1 : 6=  (công việc)

Nếu cùng làm, mỗi giờ cả hai người thợ làm được:  (công việc)

Cả hai người thợ cùng làm thì xong công việc trong: 1 :  =  (giờ)

Đáp số:  giờ

4. Một số bài toán suy luận logic

Ví dụ

Một số tự nhiên được viết bởi 2014 chữ số 7 liên tiếp: 777………….777777. Hỏi phải cộng thêm ít nhất bao nhiêu đơn vị vào số đó thì được một số chia hết cho 21?

Bài giải

Ta có số: 777…………7777 (2014 chữ số 7)

Sau khi thêm một số đơn vị vào số trên thì được một số mới chia hết cho 21. Tức là số mới đó chia hết cho 3 và chia hết cho 7.

Ta thấy số 777……………7777 (2014 chữ số 7) chia hết cho 7.

Suy ra, số đơn vị cần thêm vào là số chia hết cho 7, đó là: 7; 14; 21; 28; ...

Lại có số 777……………..7777 (2014 chữ số 7) có tổng các chữ số là: 7 x 2014 = 14098

Vì 14098 chia 3 dư 1 nên số đơn vị cần thêm vào là các số: 2; 5; 8; 11; 14; ...

Vậy cần thêm ít nhất 14 đơn vị để được số mới chia hết cho 21.

Đáp số: 14 đơn vị