Đồ thị hàm số bậc hai. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai - Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ (với $a \neq 0$) là một parabol $(P)$:

- Có đỉnh S với hoành độ $x_S = -\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S = -\frac{\Delta}{4a}$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy nếu $b \neq 0$, trùng với trục Oy nếu $b = 0$);

- Có bề lõm quay lên trên nếu $a > 0$, quay xuống dưới nếu $a < 0$;

- Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; -\frac{b}{2a})$ và đồng biến trên khoảng $(-\frac{b}{2a} ; +\infty)$. Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; -\frac{b}{2a})$ và nghịch biến trên khoảng $(-\frac{b}{2a} ; +\infty)$;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $c$, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $(0; c)$.

Để vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), ta thực hiện các bước:

- Xác định toạ độ đỉnh: $\left( -\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a} \right)$;

- Vẽ trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$;

- Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có toạ độ $(0; c)$) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm có toạ độ $(0; c)$ qua trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$.

Vẽ đồ thị các hàm số:

a) $y = f(x) = -x^2 + 4x - 3$;

b) $y = f(x) = x^2 + 2x + 2$.

Giải:

a) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x) = -x^2 + 4x - 3$ là một parabol $(P)$:

- Có đỉnh $S$ với hoành độ $x_S = 2$, tung độ $y_S = 1$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và song song với trục $Oy$);

- Có bề lõm quay xuống dưới vì $a < 0$;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $(0; -3)$.

Ngoài ra, phương trình $-x^2 + 4x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (1; 0) và (3; 0).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới:

b) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x) = x^2 + 2x + 2$ là một parabol $(P)$:

- Có đỉnh $S$ với hoành độ $x_S = -1$, tung độ $y_S = 1$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x = -1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và song song với trục $Oy$);

- Bề lõm quay lên trên vì $a > 0$;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ (0; 2).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới: