Giải mục 1 trang 64, 65, 66, 67 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

HĐ1

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^2}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì bằng định nghĩa.

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

a) \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - x_0^2}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln x}} - {e^{2.\ln {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{2.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{2\ln x - 2\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {{e^{2.\ln x - 2\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^2\left( {2\ln x - 2\ln {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \)

\(= 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} \)

\(= 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}} = 2x_0^2.\frac{1}{{{x_0}}} = 2x\).

\(\Rightarrow \left( {{x^2}} \right)' = 2x\).

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) tại điểm x bất kì: \(y' = n.{x^{n - 1}}\).

LT-VD1

Cho hàm số \(y = {x^{22}}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} =  - 1\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {{x^{22}}} \right)' = 22.{x^{21}}\).

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} =  - 1\) là:

\(f'\left( { - 1} \right) = 22.{\left( { - 1} \right)^{21}} =  - 22\).

HĐ2

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 1\) bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - x_0^{\frac{1}{2}}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{\frac{1}{2}.\ln x}} - {e^{\frac{1}{2}.\ln {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^{\frac{1}{2}.\ln {x_0}}}.\left( {{e^{\frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^{\frac{1}{2}}\left( {{e^{\frac{1}{2}.\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x_0^{\frac{1}{2}}\left( {\frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{2}\ln {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {\frac{x}{{{x_0}}}} \right)}}{{x - {x_0}}} = 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}}\)

\(= 2x_0^2\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{1}{2}x_0^{\frac{1}{2}}.\frac{1}{{{x_0}}}\)

\(\Rightarrow f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}{.1^{\frac{1}{2}}}.1 = \frac{1}{2}\).

LT-VD2

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 9\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

\(\Rightarrow f'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{{2.3}} = \frac{1}{6}\).

HĐ3

Bằng cách sử dụng kiết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin x - \sin {x_0}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\,.\,\cos x\frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2.\frac{{x - {x_0}}}{2}.\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\cos \frac{{x + {x_0}}}{2} = \cos \frac{{2{x_0}}}{2} = \cos {x_0}\).

Suy ra, \((\sin x)' = \cos x\).

LT-VD3

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 3 để làm bài.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \cos x\).

\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\).

HĐ4

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) tại điểm x bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cos x - \cos {x_0}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 2\,.\,\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 2.\frac{{x - {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x + {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,\left( { - \sin \frac{{x + {x_0}}}{2}} \right) =  - \sin \frac{{2{x_0}}}{2} =  - \sin {x_0}\).

\( \Rightarrow f'(x) = (\cos x)' =  - \sin x\).

LT-VD4

Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({x_0} = 2\) \(\left( s \right)\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính.

Lời giải chi tiết:

Vận tốc tức thời của dao động: \(f'\left( x \right) =  - \sin x\).

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \({x_0} = 2\left( s \right)\):

\(f'\left( 2 \right) =  - \sin \left( 2 \right) = 0,91\) \(\left( {m/s} \right)\).

HĐ5

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm sô \(y = \tan x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x - \tan {x_0}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\tan x - \tan {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\sin {x_0}}}{{\cos {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\sin x\cos {x_0} - \sin {x_0}\cos x}}{{\cos x\cos {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\cos x\cos {x_0}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{x_0}}}\).

\(\Rightarrow f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\).

LT-VD5

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\) tại điểm \({x_0} =  - \frac{\pi }{6}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)}} = \frac{4}{3}\).

HĐ6

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \cot x\) tại điểm x bất kì, \(x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cot x - \cot {x_0}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\cot x - \cot {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\cos {x_0}}}{{\sin {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\cos x\sin {x_0} - \cos {x_0}\sin x}}{{\sin x\sin {x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}  - \frac{1}{{\sin x\sin {x_0}}} =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}{x_0}}}\)

\(\Rightarrow f'(x) = (\cot x)' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \).

LT-VD6

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cot x\) tại điểm \({x_0} =  - \frac{\pi }{3}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow f'\left( { - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)}} =  - \frac{4}{3}\).

HĐ7

Sử dụng kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^x}\) tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x + {x_0}) - f(x)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{x + {x_0}}} - {e^x}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{x + {x_0}}} - {e^x}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}({e^{{x_0}}} - 1)}}{x}\)

\(= {e^x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}} - 1}}{x} = {e^x}.1 = {e^x}\).

\(\Rightarrow f'(x) = {e^x}\).

LT-VD7

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {10^x}\) tại điểm \({x_0} =  - 1\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = {10^x}.\ln 10 \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = {10^{ - 1}}.\ln 10 = \frac{{\ln 10}}{{10}}\).

HĐ8

Sử dụng kết quả  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm \( f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln x - \ln {x_0}}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{\ln e}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \frac{x}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)

\(= \frac{1}{{\ln e}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{x}{{{x_0}}} - 1} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{\ln e}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{x}{{{x_0}}} - 1}}{{x - {x_0}}} \)

\(= \frac{1}{{\ln e}}.\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\frac{{x - {x_0}}}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{{{x_0}\ln e}}\).

\(\Rightarrow \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{{x\ln e}} = \frac{1}{x}\).

LT-VD8

Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)= \log x\) tại điểm \({x_0} = \frac{1}{2}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x.\ln 10}} \Rightarrow f'\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{\frac{1}{2}.\ln 10}} = \frac{2}{{\ln 10}}\).