Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - Toán 11 Cánh diều

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử f = f(x), g = g(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

Ta có:

\(\left( {f + g} \right)' = f' + g'\);

\(\left( {f - g} \right)' = f' - g'\);

\(\left( {fg} \right)' = f'g + fg'\);

\(\left( {\frac{f}{g}} \right)' = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}\) \(\left( {g = g\left( x \right) \ne 0} \right)\).

2. Đạo hàm của hàm hợp

Cho hai hàm số f(u) và u = u(x). Hàm số y = f(u(x)) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f(u) và u(x).

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là \(u{'_x}\) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại y là \(y{'_u}\) thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}\).

3. Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^5} - {x^3} + x - 10\).

Giải:

\(y' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {{x^3}} \right)' + \left( x \right)' - \left( {10} \right)' \)

\(= 5{x^4} - 3{x^2} + 1\).

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 4{x^2} - \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{5}{x}\).

b) \(y = (2{x^3} + 1)(\sqrt x  - 3)\).

c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

Giải:

a) Với x > 0, ta có:

\(y = 4\left( {{x^2}} \right)' - \frac{1}{2}\left( {\sqrt x } \right)' + 5\left( {\frac{1}{x}} \right)' \)

\(= 8x - \frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{5}{{{x^2}}}\).

b) Với x > 0, ta có:

\(y' = (2{x^3} + 1)'(\sqrt x  - 3) + (2{x^3} + 1)(\sqrt x  - 3)' \)

\(= 6{x^2}(\sqrt x  - 3) + (2{x^3} + 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}\).

c) Với \(x \ne  - 1\), ta có:

\(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{2(x + 1) - (2x - 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {({x^2} + x)^8}\).

b) \(y = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\).

Giải:

a) \(y = \left[ {{{({x^2} + x)}^8}} \right]' \)

\(= ({x^2} + x)'.8{({x^2} + x)^{8 - 1}} \)

\(= 8(2x + 1){({x^2} + x)^7}\).

b) \(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right)' \)

\(= \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}\).

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2\sin x - 3\cos x\).

b) \(y = x\tan x\).

c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

d) \(y = {\cos ^3}3x\).

Giải:

a) \(y' = 2\left( {\sin x} \right)' - 3\left( {\cos x} \right)' \)

\(= 2\cos x + 3\sin x\).

b) Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\), ta có:

\(y = x'.\tan x + x.(\tan x)' \)

\(= \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\).

c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

d) \(y' = 3{\cos ^2}3x.(\cos 3x)' \)

\(=  - 3{\cos ^2}3x.(3x)'.\sin 3x \)

\(=  - 9{\cos ^2}3x.\sin 3x\).

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {3^{2{x^2} - x}}\).

b) \(y = {\log _2}({x^2} + 2x + 3)\).

c) \(y = x{e^x}\).

Giải:

a) \(y' = (2{x^2} - x)'{.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3 \)

\(= (4x - 1){.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3\).

b) \(y' = \frac{{({x^2} + 2x + 3)'}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}\)

\(= \frac{{2x + 2}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}\).

c) \(y' = (x)'{e^x} + x({e^x})'\)

\(= {e^x} + x{e^x}\).